Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c+lnx．
（1）当a=b时，若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数f（x）在x=

1

2

，x=1处取得极值，且f（1）=-1，若对任意的x∈[

1

4

，2]，f（x）≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，结合函数f（x）在定义域上是单调函数，分a=0时和a≠0时两种情况，讨论满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．
（2）根据f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值，建立方程组，从而可得函数解析式；确定函数的极大值，从而可得函数的最值，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）当a=b时，f′（x）=2ax+a+

1

x

=

2ax2+ax+1

x

…（2分）
若函数f（x）在定义域上是单调函数，
当a=0时，f′（x）=

1

x

恒成立，此时函数f（x）在定义域上是单调递增函数，满足条件；
当a≠0时，f′（x）＞0，或f′（x）＜0恒成立，
故2ax²+ax+1的△=a²-8a＜0
解得：0＜a＜8，
综上所述，实数a的取值范围为：0≤a＜8，…（6分）
（2）f′（x）=

2ax2+bx+1

x

…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值，
∴f′（1）=f′（

1

2

）=0…（8分）
∴

2a+b+1=0 a+b+2=0

，
∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-3x+1+lnx…（9分）
∴f′（x）=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]单调递增．
x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]单调递减
x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）
∴f（x）极大值=f（

1

2

）=

1

4

-ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f（2）-f（

1

2

）=-

3

4

+ln4＞0
∴f（x）_max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．