Question

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃…，b_n，使这个n+2个数成等差数列．记A_n=a₁a₂a₃…a_n，Bn=b₁+b₂+b₃+…+b_n．（1）求数列{A_n}和{B_n}的通项；（2）当n³7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：∵ 1，a1，a2，a3…an，2成等比数列，∴ a1an=a2an-1=a3an-2=…akan-k+1=…1´2=2 ，∴ =(a1an)(a2an-1) (a3an-2)…(an-1a2)(ana1)=(1´2)n=2n ∴   又∵ 1，b1，b2，b3，…bn，2成等差数列，∴ b1+bn=1+2=3，∴ 所以，数列{An}的通项，数列{Bn}的通项． （2）∵ ，，∴ ，，要比较An与Bn的大小，只需比较与的大小，也即比较当n³7时，2n与的大小．当n=7时，，，得知，经验证n=8，n=9时，均有命题成立．猜想当n³7时有．用数学归纳法证明． （1）当n=7时，已验证，命题成立． （2）假设n=k(k³7)时，命题成立，即，那么，又当k³7时，有k2>2k+1 ∴ ，这就是说，当n=k+1时，命题成立． 根据（1）、（2），可知命题对于n³7都成立．故当n³7时，An>Bn．