Question

12．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德举行，为了更好的迎接运动会，做好夏季降温的同时要减少能源消耗，某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为2万元，设每年的能源消耗费用为C（单位：万元），隔热层厚度为x（单位：厘米），二者满足函数关系式：C（x）=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤15，k为常数）．已知隔热层厚度为10厘米时，每年能源消耗费用1万元．设f（x）为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由每年的能源消耗费用为C（x），当x=10时，c=1，可得k的值；又加装隔热层的费用为C₁（x），所以总费用函数f（x）可表示出来，其定义域可得；
（2）对函数f（x）变形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答 解：（1）x=10时，c=1，∴k=15，
∴C（x）=$\frac{15}{x+5}$，
∴f（x）=30×$\frac{15}{x+5}$+2x=$\frac{450}{x+5}$+2x（0≤x≤15）；
（2）f（x）=$\frac{450}{x+5}$+2x=$\frac{450}{x+5}$+2（x+5）-10≥2$\sqrt{\frac{450}{x+5}•2（x+5）}$-10=50，
当且仅当$\frac{450}{x+5}$=2（x+5），即x=10，f（x）的最小值为50，
∴当隔热层修建10cm厚时，总费用达到最小值为50万元．

点评 本题考查了平均值不等式在函数极值中的应用，在利用平均值不等式求最值时，要注意等号成立的条件是什么．