Question

17．已知a＞0，求证：（a+$\frac{1}{a}$）-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过令t=a+$\frac{1}{a}$可知t≥2（当且仅当a=1时取等号），进而利用分析法证明即可．

解答 证明：依题意，令t=a+$\frac{1}{a}$，则t≥2（当且仅当a=1时取等号），
要证（a+$\frac{1}{a}$）-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2-$\sqrt{2}$，即证t-$\sqrt{{t}^{2}-2}$≤2-$\sqrt{2}$，
只需证t+$\sqrt{2}$≤2+$\sqrt{{t}^{2}-2}$，即证$（t+\sqrt{2}）^{2}$≤$（2+\sqrt{{t}^{2}-2}）^{2}$，
整理得：t≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-2}$，
只需证：t²≤2（t²-2），即证t²≥4，
由t≥2可知t²≥4，从而命题得证．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法，注意解题方法的积累，属于中档题．