Question

8．已知定义在正实数集上的函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），下列不等式一定成立的是（　　）

• A． f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）
• B． f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂）
• C． f（x₁x₂）＞f（x₁）+f（x₂）
• D． f（x₁x₂）＜f（x₁）+f（x₂）

Answer 1

分析 根据条件构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可．

解答 解：定义在正实数集上的函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，
即xf′（x）＜f（x），
即f（x）-xf′（x）＞0，
设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则h′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
即当x＞0时，函数h（x）为减函数，
不妨设x₁＜x₂，
则$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
且$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即f（x₁+x₂）＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}}$•f（x₂）=f（x₂）+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•f（x₂）＜f（x₂）+x₁•$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=f（x₁）+f（x₂），
故选：B

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．