Question

已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.

（1）求的值；

（2）求点的纵坐标；

（3）求△面积的最小值.

 

Answer 1

（1）-8；（2）-2：（3）．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求两根之积即可；（2）由导数的几何意义求切线方程，联立方程，解方程组即得P点纵坐标；（3）求弦长和面积，再利用基本不等式求最值.

规律总结：直线与抛物线的位置关系，是高考数学的重要题型，其一般思路是联立直线与抛物线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，采用“设而不求”的方法进行解答，综合型较强.

试题解析：（1）由已知直线的方程为，代入得，，∴，.

（2）由导数的几何意义知过点的切线斜率为，

∴切线方程为，化简得 ①

同理过点的切线方程为 ②

由，得， ③

将③代入①得，∴点的纵坐标为.

（3)设直线的方程为，

由（1）知，，

∵点到直线的距离为，

线段的长度为

. ，

当且仅当时取等号，∴△面积的最小值为.

考点：直线与抛物线的位置关系.