Question

函数是定义在R上的奇函数，当时，，则在上所有零点之和为 ．

 

Answer 1

8

【解析】

试题分析：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，又∵函数，∴∴函数g（x）是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，，即∴函数在（0，2]上的值域为，当且仅当x=2时，=1；

又∵当x＞2时，

∴函数在（2，4]上的值域为，当且仅当x=４时，=；

函数在（４，６]上的值域为，当且仅当x=６时，=；

函数在（６，８]上的值域为，当且仅当x=８时，=；

函数在（８，10]上的值域为，当且仅当x=10时，=；

故在（8，10]上恒成立，

注意到的零点就是函数的图象与曲线交点的横坐标,

所以在（8，10]上无零点;

同理在（10，12]上无零点;

依此类推，函数在（8，+∞）无零点;

综上函数在[-6，+∞）上的所有零点之和为8;故应填入:8.

如下图:

考点：１．奇偶性与单调性的综合；２．函数的零点．