Question

9．双曲线$M：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左，右焦点分别为F₁，F₂，记|F₁F₂|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF₁|=c+2，则P点的横坐标为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 求得圆O的方程，联立双曲线的方程，求得P的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化简整理可得所求横坐标的值．

解答 解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x²+y²=c²，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}+1}$，
由|PF₁|=c+2，
由双曲线的定义可得|PF₂|=|PF₁|-2a=c+2-2=c，
在直角三角形PF₁F₂中，可得c²+（c+2）²=4c²，
解得c=1+$\sqrt{3}$，
由c²=a²+b²=1+b²，可得b²=3+2$\sqrt{3}$，
可得P的横坐标为$\sqrt{\frac{7+4\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及勾股定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．