Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF₁F₂的周长是6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆T：（x-t）²+y²=$\frac{4}{9}$，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（0，1）时，求EF的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF₁F₂的周长是6，得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）椭圆的上顶点为M（0，$\sqrt{3}$），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+$\sqrt{3}$，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到k₁+k₂=-$\frac{18\sqrt{3}t}{9{t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{23}{9{t}^{2}-4}$，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到k_EF=$\frac{3（{k}_{1}+{k}_{2}）}{3-4{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围．

解答 解：（1）由e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由△PF₁F₂的周长是6，
由椭圆的定义可得2a+2c=6，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）椭圆的上顶点为M（0，$\sqrt{3}$），
设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+$\sqrt{3}$，
由直线y=kx+$\sqrt{3}$与T相切可知$\frac{|kt+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
即（9t²-4）k²+18$\sqrt{3}$tk+23=0，
可得k₁+k₂=-$\frac{18\sqrt{3}t}{9{t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{23}{9{t}^{2}-4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+\sqrt{3}}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k₁²）x²+8$\sqrt{3}$k₁x=0．
解得x_E=-$\frac{8\sqrt{3}{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
同理x_F=-$\frac{8\sqrt{3}{k}_{2}}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$，
则k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{（{k}_{1}{x}_{E}+\sqrt{3}）-（{k}_{2}{x}_{F}+\sqrt{3}）}{{x}_{E}-{x}_{F}}$
=$\frac{{k}_{1}{x}_{E}-{k}_{2}{x}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{3（{k}_{1}+{k}_{2}）}{3-4{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$．
当0＜t＜1时，f（t）=$\frac{54\sqrt{3}t}{104-27{t}^{2}}$为增函数，
故EF的斜率的范围为（0，$\frac{54\sqrt{3}}{77}$）．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．