Question

19．已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）求过点（4，0）圆的切线方程．
（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线m的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）切线l的斜率存在时设为k，则该直线的方程可设为：y=k（x-4）⇒kx-y-4k=0，利用圆的切线的性质：圆心到切线的距离d=r即可得出k．斜率不存在时判断即可．
（2）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，代入圆的方程，利用根与系数的关系求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，进而求得y₁•y₂的值．根据OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，求得b=1，或b=-4，从而得出结论．

解答 解：切线l的斜率存在时设为k，则该直线的方程可设为：y=k（x-4）⇒kx-y-4k=0，
由圆的方程为x²+y²-2x+4y-4=0，配方得（x-1）²+（y+2）²=9，可得圆心C（1，-2），半径r=3．
由圆的切线的性质可得：$\frac{|k+2-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，解得k=-$\frac{5}{12}$．此时的切线方程为：5x+12y-20=0．
当切线的斜率不存在时，切线为：x=4．满足题意，
所以有点切线方程为：x=4或5x+12y-20=0
（2）假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥m，∴k_CM?k_m=-1∴k_CM=$\frac{b+2}{a-1}=-1$，（6分）
即a+b+1=0，得b=-a-1   ①
直线m的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0     （8分）
CM=$\frac{{|{b-a+3}|}}{{\sqrt{2}}}$（10分）
∵以AB为直径的圆M过原点，∴|MA|=|MB|=|OM|${|{MB}|^2}={|{CB}|^2}-{|{CM}|^2}=9-\frac{{{{（b-a+3）}^2}}}{2}$，
|OM|²=a²+b²
∴$9-\frac{{{{（b-a+3）}^2}}}{2}={a^2}+{b^2}$②（12分）
把①代入②得　2a²-a-3=0，∴a=$\frac{3}{2}$或a=-1  （13分）
当a=$\frac{3}{2}$时，b=-$\frac{5}{2}$此时直线m的方程为x-y-4=0；
当a=-1时，b=0此时直线m的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0．

点评 本题主要考查求圆的切线方程，直线和圆的位置关系应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．