Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=120°，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；
（Ⅱ）若G满足PC⊥面BGD，求$\frac{PG}{GC}$ 的值；
（Ⅲ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）先证 PC⊥OG，且PC=$\sqrt{15}$由△COG∽△CAP，可得$\frac{GC}{AC}=\frac{OC}{PC}$，解得GC的值，可得PG
=PC-GC 的值，从而求得$\frac{PG}{GC}$ 的值．
（Ⅲ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． 
∵AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）解：若G满足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=$\sqrt{15}$
由△COG∽△CPA，可得$\frac{GC}{AC}=\frac{OC}{PC}$，解得GC=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴PG=PC-GC=$\sqrt{15}-\frac{2\sqrt{15}}{5}$=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，∴$\frac{PG}{GC}$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅲ）解：若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于$\frac{1}{2}$PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$．
∵直角三角形COD中，OD=2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=$\frac{OD}{OG}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．