Question

已知△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则下列叙述错误的是（　　）
①sin3B=2sinC    ②tan

C

2

tan

3B

2

=1    ③

π

6

＜B＜

π

4

    ④

a

b

∈（

2

，

3

]．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则C=π-A-B=π-3B，由诱导公式，即可判断①，②；由A，B，C均为锐角，即可求得B的范围，即可判断③；运用正弦定理和二倍角公式，以及余弦函数的单调性即可判断④．

解答： 解：△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则C=π-A-B=π-3B，
对于①，sinC=sin（π-3B）=sin3B，则①错；
对于②，tan

C

2

=tan

π-3B

2

=

1

tan 3B 2

，则②对；
对于③，由0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，即有0＜2B＜

π

2

，0＜π-3B＜

π

2

，
即有0＜B＜

π

4

，且0＜B＜

π

2

，且

π

6

＜B＜

π

3

，则

π

6

＜B＜

π

4

，故③对；
对于④，

a

b

=

sinA

sinB

=

sin2B

sinB

=

2sinBcosB

sinB

=2cosB，由于

π

6

＜B＜

π

4

，则

2

2

＜cosB＜

3

2

，
即有

a

b

∈（

2

，

3

），故④错．
故选D．

点评：本题考查诱导公式和二倍角公式的运用，余弦函数的性质及运用，正弦定理及运用，考查锐角三角形中角的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．