Question

已知函数f（x）=2cos（2ωx+φ）+2（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点M（3，1），且相邻两最高点和最低点之间的距离为5．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）在x∈[-

3

2

，1]上的最大值，并求出此时x的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，可求得f（x）_max=4，f（x）_min=0，由

42+( π 2ω )2

=5，即

π

2ω

=3，解得ω=

π

6

；又f（3）=1，可求得φ的值，从而可得f（x）的表达式；
（2）由x∈[-

3

2

，1]，可得（

π

3

x+

π

3

）∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用余弦函数的单调性与最值即可求得f（x）在x∈[-

3

2

，1]上取得最大值4及x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2ωx+φ）+2（ω＞0，0＜φ＜π），
∴f（x）_max=4，f（x）_min=0，
又相邻最高点与最低点之间的横坐标的距离是半个周期

1

2

×

2π

2ω

=

π

2ω

，纵坐标之间的距离为4，
依题意得：

42+( π 2ω )2

=5，即

π

2ω

=3，解得：ω=

π

6

；
又f（3）=1，即2cos（2×3×

π

6

+φ）+2=1，
∴cosφ=

1

2

，而0＜φ＜π，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2cos（

π

3

x+

π

3

）+2；
（2）∵x∈[-

3

2

，1]，∴（

π

3

x+

π

3

）∈[-

π

6

，

2π

3

]；
∴当

π

3

x+

π

3

=0，即x=-1时，f（x）在x∈[-

3

2

，1]上取得最大值4．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求ω的值是难点，考查综合运算与规范表达能力，属于难题．