Question

9．已知X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=$\frac{9}{2}$，则在（${\sqrt{x}$+$\frac{1}{{\root{3}{x}}}}$）ⁿ的展开式中，有理项共有5项．

Answer 1

分析 由于X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=$\frac{9}{2}$，可得np=6，np（1-p）=$\frac{9}{2}$，解得n=24．则在$（\sqrt{x}+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{24}$的展开式中，利用其通项公式即可得出结论．

解答 解：∵X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=$\frac{9}{2}$，
∴np=6，np（1-p）=$\frac{9}{2}$，解得n=24．
则在$（\sqrt{x}+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{24}$的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{24}^{r}（\sqrt{x}）^{24-r}$$（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=${∁}_{24}^{r}{x}^{12-\frac{5r}{6}}$，r=0，1，2，…，24．
当且仅当r=0，6，12，18，24时，T_r+1为有理项．
因此有理项共有5项，
故答案为：5．

点评 本题考查了二项分布的性质、二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．