Question

17．定义：若曲线τ由椭圆T₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和椭圆T₂：$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（b＞c＞0）组成，当a、b、c成等比数列时，称曲线τ为“猫眼曲线”．若“猫眼曲线”τ过点P（0，-$\sqrt{2}$），且a、b、c的公比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求“猫眼曲线”τ的方程；
（2）任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线τ相交，且交椭圆T₁所得弦的中点为M，交椭圆T₂所得弦的中点为N，设OM、ON的斜率分别是k_OM、k_ON，求$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$的值；
（3）若斜率为1的直线l交椭圆T₁于点A、B，交椭圆T₂于点C、D，且满足$\frac{|AB|}{|CD|}$=2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：b=$\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入分别求得a和c的值，即可求得“猫眼曲线”τ的方程；
（2）根据中点坐标公式，将E，F坐标代入椭圆方程，利用”点差法“求得k•k_OM=-$\frac{1}{2}$，同理求得k•k_ON=-2，即可求得$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$的值；
（3）设直线方程y=x+m，分别代入T₁和T₂，求得关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，利用弦长公式分别求得丨AB丨和丨CD丨，根据$\frac{|AB|}{|CD|}$=2，即可求得m的值，求得直线方程．

解答 解：（1）由题意知，b=$\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，c=1，
∴T₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，T₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1．
（2）设斜率为k（k≠0）的直线交椭圆T₁于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）线段EF中点为M（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
因为k存在且k≠0，
∴x₁≠x₂，x₀≠0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2}$，即k•k_OM=-$\frac{1}{2}$，
同理k•k_ON=-2，
∴$\frac{{k}_{OM}}{{k}_{ON}}$=$\frac{1}{4}$；
（3）设直线l的方程为：y=x+m，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_A，y_A），D（x_B，y_B），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-4=0，
由韦达定理可知：x_A+x_B=-$\frac{4m}{3}$，x_A•x_B=$\frac{2{m}^{2}-4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2mx+m²-2=0，
由韦达定理可知：x_C+x_D=-$\frac{2m}{3}$，x_C•x_D=$\frac{{m}^{2}-2}{3}$，
∴$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{A}-{x}_{B}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{C}-{x}_{D}丨}$=$\frac{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}}{\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}-4{x}_{C}{x}_{D}}}$=$\frac{\sqrt{48-8{m}^{2}}}{\sqrt{24-8{m}^{2}}}$=2，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
所以直线l的方程为y=x±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，考查一元二次方程根与系数的关系、弦长公式，考查直线方程的求得，考查综合运算能力，属于中档题．