Question

在△ABC中，AC=

2

，AB=

3

+1，∠BAC=45°，

BP

=（1-λ）

BA

+λ

BC

（λ＞0），AP=

2

2

（1）求

BA

•

AC

的值；
（2）求实数λ的值；
（3）若

BQ

=

1

4

BC

，AQ与BP交于点M，

AM

=μ

.

MQ

，求实数μ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的定义，即可得到；
（2）向量共线的基本定理，化简即可得到P为中点，进而得到所求值；
（3）运用向量共线的定理和三点共线的向量表示，设

BM

=t

MP

，得到

AM

的两种形式，再由

AB

，

AC

不共线，得到两个方程，解得即可得到所求值．

解答： 解：（1）

BA

•

AC

=-|

AB

|•|

AC

|•cos45°=-（

3

+1）×

2

×

2

2

=-

3

-1；
（2）由于

BP

=（1-λ）

BA

+λ

BC

（λ＞0），
则

BP

-

BA

=λ(

BC

-

BA

)，即有

AP

=λ

AC

，
即有P在线段AC上，
由于|

AP

|=

2

2

，即有P为中点，则λ=

1

2

；
（3）在△ABQ中，

AM

=μ

.

MQ

，
则有

AM

=

μ

1+μ

AQ

=

μ

1+μ

•

AB + 1 3 AC

1+ 1 3

=

μ

4(1+μ)

•（3

AB

+

AC

），
设

BM

=t

MP

，
则有

AM

=

AB +t AP

1+t

=

AB + 1 2 t AC

1+t

由于

AB

，

AC

不共线，
则有

3μ

4(1+μ)

=

1

1+t

且

μ

4(1+μ)

=

t

2(1+t)

，
解得，μ=4．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查平面向量基本定理，以及向量的共线的表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．