Question

从集合{0，1，2，3，4}中随机取出两个不同的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标，已知圆C：x²+y²=12．
（1）求点P在圆C内的概率；
（2）若过在圆C内的点P的直线l与圆C分别交于点M，N，当原点到直线l的距离最大时，在圆C内随机撒一粒豆子，求豆子落在△MON（O为原点）内的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）本小题是古典概型问题，欲求出点P落在区域C：x²+y²＜12内的概率，只须求出满足：x²+y²＜12上的点P的坐标有多少个，再将求得的值与整个点P的坐标个数求比值即得．
（2）本小题是几何概型问题，欲求豆子落在区域M上的概率，只须求出满足：“豆子落在区域M上的概率”的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域C的面积求比值即得．

解答： 解：（1）点P的坐标有：
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，0），（1，2），（1，3），（1，4），（2，0），（2，1），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，4），（4，0）（4，1），（4，2），（4，3）共20种，
其中落在区域C：x²+y²＜12上的点P的坐标有：
（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）共10种．
故点P落在区域C：x²+y²＜12的概率为

10

20

=

1

2

．…（6分）
（2）由（1）可知，当原点到直线l的距离最大时即点P的到圆心的距离最大的点为（3，1）或者（1，3），对应的区域面积是高为

10

的等腰三角形，面积

1

2

×

10

×2

2

=2

5

在圆C内随机撒一粒豆子，对应的区域面积为12π，则豆子落在△MON（O为原点）内的概率为

2 5

12π

=

5

6π

．…（10分）

点评：本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果是不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．