Question

已知函数f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

，判断λ与E的关系；
（3）令h（x）=x²f（x）+ax+b，若集合A={x|x=h（x）}，集合B={x|x=h[h（x）]}，若A=∅，求集合B．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）为偶函数可得

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

；从而求a；
（2）由题意化简集合E，再求λ即可；
（3）h（x）=（x²-1）+ax+b=x²+ax+b-1，由A=∅知h（x）＞x，从而可得h[h（x）]＞h（x）＞x，故B=∅．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x），
即

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

；
解得，a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=

x2-1

x2

，
当x=±1时，f（x）=0，当x=2时，f（x）=

3

4

；
故E={0，

3

4

}；
而λ=lg²2+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
故λ∈E；
（3）h（x）=（x²-1）+ax+b=x²+ax+b-1，
若存在x，使h（x）≤x，则由h（x）=x²+ax+b-1（a，b∈R）开口向上，
因此存在x，使h（x）＞x，于是f（x）=x有实根，
∵A=∅，
∴h（x）＞x，
∴h[h（x）]＞h（x）＞x，
于是h[h（x）]=x无实数根，
即B=∅．

点评：本题考查了函数的性质应用及对数的运算，属于中档题．