Question

10．已知双曲线的一个焦点与抛物线x²=24y的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求得渐近线方程和a，b，c的关系，解方程即可得到所求．

解答 解：抛物线x²=24y的焦点为（0，6），
设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
即有c=6，即a²+b²=36，
渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由题意可得tan30°=$\frac{a}{b}$，即为b=$\sqrt{3}$a，
解得a=3，b=3$\sqrt{3}$，
即有双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．

点评 本题考查抛物线的焦点的运用，考查双曲线的方程的求法和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．