Question

1£®ÒÑÖªÅ×ÎïÏßC₁£ºy²=2px£¨p£¾0£©µÄ½¹µãΪF£¬Å×ÎïÏßÉϵĵãG£¨1£¬m£©µ½½¹µãµÄ¾àÀëΪ3£¬ÍÖÔ²C₂£º$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1£¨m£¾n£¾0£©µÄÒ»¸ö½¹µãÓëÅ×ÎïÏßC₁µÄ½¹µãÖغϣ¬ÇÒÀëÐÄÂÊΪ$\frac{1}{2}$£®
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Answer 1

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£¨2£©ÉèA£¨x₁£¬y₁£©¡¢B£¨x₂£¬y₂£©£¬ÁªÁ¢Ö±ÏßÓëÍÖÔ²·½³Ì£¬ÀûÓÃΤ´ï¶¨ÀíÒÔ¼°Åбðʽ´óÓÚ0£¬Í¨¹ýÔ­µãOÔÚÒÔÏ߶ÎABΪֱ¾¶µÄÔ²µÄÍⲿ£¬ÍƳö$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$£¾0£¬È»ºóÇó½âkµÄ·¶Î§¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÓÉÌâÒâ¿ÉÖª$1+\frac{p}{2}=3$£¬½âµÃp=4£¬ËùÒÔÅ×ÎïÏßC₁µÄ·½³ÌΪ£ºy²=8x£®
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ÓÉ$\left\{\begin{array}{l}y=kx-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$µÃ£¨4k²+3£©x²-32kx+16=0£¬
¡à${x_1}+{x_2}=\frac{32k}{{4{k^2}+3}}$£¬${x_1}{x_2}=\frac{16}{{4{k^2}+3}}$£¬
ÓÉ¡÷£¾0£¬¼´£¨-32k²£©-4¡Á16£¨4k²+3£©£¾0£¬½âµÃ$k£¾\frac{1}{2}$»ò$k£¼-\frac{1}{2}$£®¢Ù
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¡à$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=£¨{x_1}£¬{y_1}£©•£¨{x_2}£¬{y_2}£©$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+£¨kx₁-4£©£¨kx₂-4£©=£¨k²+1£©x₁x₂-4k£¨x₁+x₂£©+16=$£¨{k^2}+1£©•\frac{16}{{4{k^2}+3}}-4k•\frac{32k}{{4{k^2}+3}}+16$=$\frac{{16£¨4-3{k^2}£©}}{{4{k^2}+3}}£¾0$£¬
½âµÃ$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}£¼k£¼\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$£®¢Ú
ÓÉ¢Ù¢Ú½âµÃʵÊýkµÄ·¶Î§ÊÇ$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}£¼k£¼-\frac{1}{2}$»ò$\frac{1}{2}£¼k£¼\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÖ±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵµÄ×ÛºÏÓ¦Óã¬Ô²×¶ÇúÏßµÄ×ÛºÏÓ¦Ó㬿¼²é·ÖÎöÎÊÌâ½â¾öÎÊÌâµÄÄÜÁ¦£®