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定义:若函数对于其定义域内的某一数,有,则称的一个不动点. 已知函数.
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数恒有两个不动点,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点,且线段AB的中点C在函数的图象上,求实数b的最小值.
(参考公式:若,则线段AB的中点坐标为)

(1)和3;(2);(3)

解析试题分析:(1) 当,由,    
解得,故所求的不动点为和3.  ------------------3分
(2)令,则 ①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以------------5分
恒成立,       
   ------------------8分
(3)依题意设 则AB中点C的坐标为
又AB的中点在直线
 ------------9分
是方程①的两个根, ,即
==  ------------11分

∴当  时,bmin=   ------------------12分
考点:二次函数的性质。
点评:做此题的关键是:①理解新定义:求函数的不动点即为求方程=的根;②发现参数b可以表示成参数a的函数即,至此,求参数b最小值的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题.

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