Question

（本题满分12分） 已知函数．
（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；
（3）当且时，试比较的大小．

Answer 1

（1）当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点（2）（3）当0<x<e时,当e<x<e²时

解析试题分析：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．-----3分
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，
∴，---------5分
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．------- 7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上单调减
∴0<x<y<e²时， 即
当0<x<e时，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
当e<x<e²时，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分
考点：利用函数的导数求极值最值单调区间
点评：不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题。