(本小题满分12分)
已知函数是奇函数:
(1)求实数和的值;
(2)证明在区间上的单调递减
(3)已知且不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
(1);(2)见解析;(3).
解析试题分析:(Ⅰ)先根据f(1)=f(4)求出b的值;再结合f(x)+f(-x)=0对x≠0恒成立求出a的值即可;
(Ⅱ)直接按照单调性的证明过程来证即可;
(Ⅲ)先结合第二问的结论知道函数f(x)在(1,+∞)上递减,进而得到函数的不等式,最后把两个成立的范围相结合即可求出结论.
(1)由定义易得:
(2)设,
即所以在上的单调递减。
(3)已知且不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
由及为奇函数得:
因为,,且在区间上的单调递减,
故任意的恒成立,故.
考点:本题主要是考查函数奇偶性与单调性的综合.
点评:解决第一问的关键在于利用奇函数的定义得到f(x)+f(-x)=0对x≠0恒成立求出a的值.
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(满分12分)
某市居民生活用水标准如下:
用水量t(单位:吨) | 每吨收费标准(单位:元) |
不超过2吨部分 | m |
超过2吨不超过4吨部分 | 3 |
超过4吨部分 | n |
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(本小题满分13分)某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研,据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为.现已知相距的,两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数,,它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.
(1) 试将表示为的函数;
(2) 若时,在处取得最小值,试求的值.
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(本小题满分15分)将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,为了取得最大利润,每个售价应定为多少元?
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(本小题满分12)
为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪,并建立如图平面直角坐标系,且,,另外的内部有一文物保护区不能占用,经测量,, ,.
(1)求直线的方程;
(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?并求最大面积。
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(本题满分12分) 已知函数.
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当且时,试比较的大小.
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(本小题满分12分)已知函数,,
(1) 判断函数的奇偶性,并证明;
(2) 判断的单调性,并说明理由。(不需要严格的定义证明,只要说出理由即可)
(3) 若,方程是否有根?如果有根,请求出一个长度为1的区间,使;如果没有,请说明理由。(注:区间的长度=)
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