Question

14．已知函数f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．
（1）求实数a的值；
（2）求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax=a[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；
（2）运用|x+5|+|x+1|≥|（x+5）-（x+1）|=4，即可得到所求的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{a}{x-1}$+ax（a＞0，x＞1）
=a[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1]≥a（2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1）=3a，
当且仅当x=2时，取得最小值3a，
由题意可得3a=15，解得a=5；
（2）函数g（x）=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，
由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）-（x+1）|=4，
当且仅当（x+5）（x+1）≤0，即-5≤x≤-1时，取得等号．
则g（x）的最小值为4．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．