Question

【题目】己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=
（1）求证：数列{ }为等比数列；
（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：
（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn ， 对任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，

∴ = an+1，即 =2 ，

∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列

（2）解：由（1）可得： = ，∴ =n 4n﹣1．

∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，

∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，

∴ = + ，

化为：16t=t2+48，解得t=12或4

（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．

①t=12时，bn= = ，Sn= ，

∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴ = ，n=1时，化为：﹣ = ＞0，无解，舍去．

②t=4时，bn= = ，Sn= ，

对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴n =4m，

∴a1=2 ．∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*．

∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}．

【解析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为： =2× ，即可证明．（2）由（1）可得： = ，可得 =n 4n﹣1 ． 数列{bn}满足bn= ，可得b1 ， b2 ， b3 ， 利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm ， 即可得出a1 ．
【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．