Question

6．如图3，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB，VA的中点．
（Ⅰ）求证：VB∥平面 M OC；
（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）求三棱锥A-MOC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；
（Ⅱ）证明OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC的体积即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴等边三角形VAB的边长为2，S_△VAB=$\sqrt{3}$，
∵O，M分别为AB，VA的中点．
∴${S}_{△AMO}=\frac{1}{4}{S}_{△VAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱锥${V}_{A-MOC}={V}_{C-MOA}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1=\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键，是中档题．