Question

10．在（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为225．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，求出展开式的系数为有理数的项，再求它们所有系数之和．

解答 解：（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展开式中，通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\root{3}{2}y）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•y^r•${2}^{\frac{r}{3}}$；
要使展开式的系数为有理数，则r必为3的倍数，
所以r可为0，3，6共3种，
所以系数为有理数的项的所有系数之和为
${C}_{8}^{0}$+${C}_{8}^{3}$•2+${C}_{8}^{6}$•2²=225．
故答案为：225．

点评 本题考查了利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，是基础题目．