Question

20．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b=1，求$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$的最大值．
解：∵$\sqrt{2a+1}$•$\sqrt{2}$≤$\frac{（\sqrt{2a+1}）^{2}+{\sqrt{2}}^{2}}{2}$=a+$\frac{3}{2}$，$\sqrt{2b+1}$•$\sqrt{2}$≤$\frac{{\sqrt{2b+1}}^{2}{+\sqrt{2}}^{2}}{2}$=b+$\frac{3}{2}$，
相加得$\sqrt{2a+1}$•$\sqrt{2}$+$\sqrt{2b+1}$•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$•（$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$）≤a+b+3=4，
∴$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{2}$，等号在a=b=$\frac{1}{2}$时取得，即$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$的最大值为2$\sqrt{2}$．
请类比以上解题法，使用综合法证明下题：
已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$+$\sqrt{2z+1}$的最大值．

Answer 1

分析 利用基本不等式，结合类比思想，再相加，即可求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$+$\sqrt{2z+1}$的最大值．

解答 证明：∵$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2x+1）+3}{2}=x+2$，…（2分）
$\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2y+1）+3}{2}=y+2$．…（4分）
$\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2z+1）+3}{2}=z+2$．…（6分）
∴$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤（x+2）+（y+2）+（z+2）\\=x+y+z+6.\end{align}$…（8分）
因为x+y+z=3，所以$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}≤\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$．…（10分）
当且仅当等号在x=y=z=1时取得．
即$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}$得最大值为$3\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查类比思想，同时给出一个最值的求法，比较新颖．