Question

10．已知数列{a_n}中，S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．
（1）求{a_n}的a_n；
（2）求T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项公式；
（2）求得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1）=n．
显然，当n=1时，也适合上式，
则数列{a_n}的通项公式a_n=1+n-1=n；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．