Question

5．在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{BG}$；
（2）求证：B、G、E三点共线．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，利用平面向量的线性运算，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AG}$和$\overrightarrow{BG}$；
（2）证明$\overrightarrow{BG}$与$\overrightarrow{BE}$共线，即可证明B、G、E三点共线．

解答 解：（1）如图所示，
△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$，
设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AG}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
（2）∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BG}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$（-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$；
∴$\overrightarrow{BG}$与$\overrightarrow{BE}$共线，
即B、G、E三点共线．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与证明三点共线的应用问题，是基础题目．