Question

1．设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x₁，x₂∈[-2，+∞），x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-4]∪{0}．

Answer 1

分析 首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x-a|在[-2，+∞）上单调递增；
然后把a分成a≤-2与a＞-2两种情况分别进行检验；
应当注意的是当a＞-2时，应当分类讨论，讨论a是否为0，否则会使答案漏解．

解答 解：由题意知，对于任意的x₁，x₂∈[-2，+∞），x₁≠x₂，
不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，
∴f（x）=x|x-a|在[-2，+∞）上单调递增．
（1）当a≤-2时，
若x∈[-2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
此时$\frac{a}{2}$≤-2，所以f（x）在[-2，+∞）上是递增的；
即a≤-4时满足题意；
（2）当a＞-2且a≠0时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=$\frac{a}{2}$，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[-2，a），则f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其对称轴为x=$\frac{a}{2}$，所以f（x）在[$\frac{a}{2}$，a）上是递减的，
因此f（x）在[-2，a）上必有递减区间．
故可知当a＞-2且a≠0时不成立，故舍去；
（3）当a=0时，可知函数为f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
由二次函数的性质可知，符合题意单调递增的要求，故成立
综上，实数a的取值范围是（-∞，-4]∪{0}．

点评 本题考查了函数单调性的定义，考查了分类讨论的思想方法，正确的进行分类讨论是解好本题的关键．