Question

20．8人排两排，排后两排各4人，组成2×4方阵．
（1）甲、乙不同排有多少排法？
（2）甲、乙同排有多少排法？
（3）甲、乙同排相邻或前后相邻有多少排法？
（4）甲、乙不在两端有多少排法？
（5）任意排有多少排法？

Answer 1

分析 没有限制条件的排列有A₈⁸=40320种，其中甲、乙同排的有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280种，故（1），（2），（5）问题得以解决；
（3）分两类，甲、乙同排相邻，和甲乙前后相邻，根据分类计数原理可得，
（4）选从中间4个位置选2个排甲乙，其余的人任意排，问题得以解决．

解答 解：（1）没有限制条件的排列有A₈⁸=40320种，其中甲、乙同排的有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280种，
故甲、乙不同排有40320-17280=23040种，
（2）由（1）可得甲、乙同排有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280种，
（3）甲、乙同排相邻，把甲乙捆绑在一起，看做一个复合元素，从相邻的6个位置选一个，其余的任意排，故有A₂²A₆¹A₆⁶=8640种，
甲乙前后相邻，从4个位置选一个，其余的任意排，故有A₂²A₄¹A₆⁶=5760种，
根据分类计数原理，共有8640+5760=14400种．
（4）选从中间4个位置选2个排甲乙，其余的人任意排，故有A₄²A₆⁶=17280种
（5）没有限制条件的排列有A₈⁸=40320种

点评 本题考查分步分类计数原理，考查学生的计算能力分析问题的能力，属于中档题．