Question

12．12本不同的书分给甲、乙、病三人按下列条件，各有多少种不同的分法、
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本．

Answer 1

分析 （1）甲、乙、丙三人中，一人得3本，一人得4本，一人得5本，甲、乙、丙三人无序不均匀分组问题．直接求出即可．
（2）分成三份，甲三本，乙四本，丙五本，是有序不均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可．
（3）甲两本，乙、丙各五本，是有序部分均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可．
（4）一人两本，另两人各五本，是无序部分均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可

解答 解：（1）先选3本有C³₁₂种选法；再从余下的9本中选4本有C⁴₉种选法；
最后余下5本全选有C⁵₅种方法，甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有C³₁₂C⁴₉C⁵₅A³₃=166320种，
（2）先选3本给甲有C³₁₂种选法；再从余下的9本中选4本给乙有C⁴₉种选法；最后余下5本全选给丙有C⁵₅种方法，故共有C³₁₂C⁴₉C⁵₅=27720种．
（3）先选2本给甲有C²₁₂种选法；再从余下的10本中选5本给乙有C⁵₁₀种选法；最后余下5本全选给丙有C⁵₅种方法，故共有C²₁₂C⁴₁₀C⁵₅=13860种．
（4）一人两本，另两人各五本，共有$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{10}^{5}{C}_{5}^{5}}{{A}_{2}^{2}}$•A₃³=41580种，

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力．