Question

17．已知直线l：ax-y+2=0与圆M：x²+y²-4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上一动点，设点P（0，-1），则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值为10．

Answer 1

分析 由题意，圆M：x²+y²-4y+3=0可化为x²+（y-2）²=1，利用|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PC}$|≤|2$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|，即可得出结论．

解答 解：由题意，圆M：x²+y²-4y+3=0可化为x²+（y-2）²=1．
点P（0，-1），M（0，2），C（cosθ，2+sinθ），
|PM|=3，|PC|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（3+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{10+6sinθ}$≤4，
|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PC}$|≤|2$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PC}$|≤2×3+4=10，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．