Question

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，

AD＝PD＝2EA＝2，F, G, H分别为BP, BE, PC的中点。

（1）求证：平面FGH⊥平面AEB；

（2）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．…3分

由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．……5分

而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．

（2）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE= ，

在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE= ，所以PE=BE．

又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．

要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM

因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，

所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．

若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 ，

由已知可求得PB=，PF=，PC=，所以PM=