Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，试确定函数y=

1

4

a²-f（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）令g（x）=

1

4

a²-f（x）=

1

4

a²-lnx+

1

2

ax²-（a-1）x，利用导数可求得g（x）唯一的极小值，且判断极小值大于0，由此可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域是（0，+∞），
由已知得f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x=lnx-x²+x，
f′（x）=

1

x

-2x+1=

1-2x2+x

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
令f′（x）＞0，解得-

1

2

＜x＜1，函数的定义域是（0，+∞），
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1）．
（Ⅱ）令g（x）=

1

4

a²-f（x）=

1

4

a²-lnx+

1

2

ax²-（a-1）x，
则g′（x）=-

1

x

+ax-（a-1）=

(ax+1)(x-1)

x

，
∵a＞0，∴ax+1＞0，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0g（x）递增．
∴g（x）_min=g（1）=

1

4

a²+

1

2

a-（a-1）=

1

4

(a-1)2+

3

4

＞0，
故g（x）的零点个数为0个．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值、零点个数问题，考查学生分析解决问题的能力．