Question

已知P为椭圆C：

x2

2

+y²=1上一动点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，PF₁，PF₂的延长线分别交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）当△F₁F₂P的面积最大时，求线段|AB|的长；
（Ⅱ）当点P不在y轴上时，设直线OP，AB的斜率分别为k₁，k₂．求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）当点P到x轴的距离最大时，△F₁F₂P的面积最大，此时P为椭圆C的上顶点或下顶点，即可得出直线F₁P、F₂P的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A，B的横坐标，即可|AB|；
（II）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）当x₀≠-1时，直线F₁P的方程为：y=

y0

x0+1

(x+1)，将其代入椭圆C的方程可得(2x0+3)x2+4

y

2 0

x-3

x

2 0

-4x0=0，利用根与系数的关系可得x₁，即可点到A(-

3x0+4

2x0+3

，-

y0

2x0+3

)．当x₀≠1时，同理可得B(

3x0-4

2x0-3

，

y0

2x0-3

)，利用斜率计算公式可得k₂，k1=kOP=

y0

x0

，即可得出k₁•k₂=-

1

6

为定值；
（2）当x₀=-1时，解出坐标即可得出k₁•k₂=-

1

6

为定值；（3）当x₀=1时，同理可得k1•k2=-

1

6

．

解答： 解：（Ⅰ）当点P到x轴的距离最大时，△F₁F₂P的面积最大，此时P为椭圆C的上顶点或下顶点，
由对称性，不妨设点P为上顶点（0，1），
又F₁（-1，0），F₂（1，0），
直线F₁P的方程为y=x+1，将直线F₁P：y=x+1代入椭圆C的方程可得

x2

2

+(x+1)2=1，解得x=-

4

3

，
则A点的横坐标为-

4

3

，
同理，可得B点的横坐标为

4

3

，
此时A，B两点关于y轴对称，则线段|AB|的长为

8

3

．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）当x₀≠-1时，直线F₁P的方程为：y=

y0

x0+1

(x+1)，将其代入椭圆C的方程可得

x2

2

+

y 2 0

(x0+1)2

(x+1)2=1，
整理可得(2x0+3)x2+4

y

2 0

x-3

x

2 0

-4x0=0，
则x0x1=

-3 x 2 0 -4x0

2x0+3

，得x1=-

3x0+4

2x0+3

，y1=

y0

x0+1

(-

3x0+4

2x0+3

+1)=-

y0

2x0+3

，
故A(-

3x0+4

2x0+3

，-

y0

2x0+3

)．
当x₀≠1时，直线F₂P的方程为：y=

y0

x0-1

(x-1)，将其代入椭圆方程并整理可得(-2x0+3)x2-4

y

2 0

x-3

x

2 0

+4x0=0，
同理，可得B(

3x0-4

2x0-3

，

y0

2x0-3

)，
则k2=kAB=

y0 2x0-3 + y0 2x0+3

3x0-4 2x0-3 + 3x0+4 2x0+3

=

x0y0

3( x 2 0 -2)

．
又k1=kOP=

y0

x0

，
则k1•k2=

y0

x0

•

x0y0

3( x 2 0 -2)

=

y 2 0

3( x 2 0 -2)

=

1- 1 2 x 2 0

3( x 2 0 -2)

=-

1

6

为定值；
（2）当x₀=-1时，由对称性，不妨设点P在x轴上方，则P点坐标为(-1，

2

2

)，
可求得此时A，B点的坐标分别为(-1，-

2

2

)和(

7

5

，-

2

10

)，
∴k1=-

2

2

，k2=

2

6

，∴k1•k2=-

1

6

；
（3）当x₀=1时，同理，可得k1•k2=-

1

6

．
综上可知：k₁•k₂为定值．

点评：本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、斜率计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．