Question

（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（1）求证：PC⊥；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P－ACE的体积V．

Answer 1

(1)略
(2)略
(3)V＝

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴BC＝，AC＝2．取中点，连AF, EF，
∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．　　　　　 （1分）
∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，
∴，∴，
∴．                       (3分)
∴．                 (4分)
∴PC⊥．　 　　　　　　　　　 （5分）
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．              （7分）
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．                       （9分）
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．     （10分）
证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．         （7分）
∵E为PD中点，∴EC∥PN．                               （9分）
∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．             （10分）
(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝． （12分）
则V＝．                         (14分)