Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求证：（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{3}$，求cosx的值；
（3）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+2|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）分别求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的模，运用向量的平方即为模的平方，计算即可得证；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的数量积，再由向量的平方即为模的平方，结合二倍角公式，计算即可得到所求值；
（3）运用向量的数量积的性质，化简整理可得f（x）的解析式，再由余弦函数的图象和性质，结合二次函数的最值的求法，即可得到所求最小值和相应的x的值．

解答 解：（1）证明：向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=1，
即有（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=1-1=0，
则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{3}$，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\frac{1}{9}$，
即为$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{9}$，即2-2cos2x=$\frac{1}{9}$，
可得cos2x=$\frac{17}{18}$，即2cos²x=$\frac{25}{18}$，
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx=$\frac{5}{6}$；
（3）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+2|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x+2$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=cos2x+$\sqrt{2+2cos2x}$=2cos²x+2cosx-1，
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，可得cosx∈[0，1]，
令t=cosx（t∈[0，1]），
则y=2t²+2t-1=2（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
可得函数在[0，1]递增，
即有t=0，即x=$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值，且为-1．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的化简和求值，考查向量垂直的条件和模的公式，以及三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查余弦函数的图象和性质，二次函数的最值的求法，属于中档题．