Question

17．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，则$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$的取值范围（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由a、b及c依次成等比数列，根据等比数列的性质得到b²=ac，然后根据余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化简，利用基本不等式即可求出cosB大于等于$\frac{1}{2}$，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到B的范围，把所求的式子的分子中的“1”变为sin²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简，分子刚好为一个完全平方式，与分母约分后得到sinB+cosB，然后提取$\sqrt{2}$，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角（B+$\frac{π}{4}$）的正弦函数，根据B的范围，求出B+$\frac{π}{4}$的范围，根据正弦函数的值域及图象，得到sin（B+$\frac{π}{4}$）的范围，进而得到$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$的取值范围．

解答 解：∵a、b、c，依次成等比数列，可得：b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴0$＜B≤\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{sinB+cosB}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1，可得$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域，灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．