Question

11．已知等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，a₂+a₈=14，S₅=25．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列性质及前n项和公式联立方程组求得a₁和d，利用等差数列通项公式即可求得{a_n}的通项公式；
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项法”即可求得数列{b_n}前n项和T_n．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₂+a₈=14，2a₁+6d=14，①
S₅=25，即5a₁+10d=25，②
∴联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，…（3分）
∴{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∴a_n=2n-1；…（5分）
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（7分）
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$，
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
数列{b_n}前n项和T_n，T_n=$\frac{n}{2n+1}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．