Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣ ．记点P的轨迹为Г． （Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），则 直线AP的斜率 （x≠﹣2）；
直线BP的斜率 （x≠2）．
由已知有 （x≠±2），
化简得点P的轨迹Г的方程为 （x≠±2）．
（Ⅱ）设P（x1 ， y1）（x1≠±2），则 ．
直线AP的方程为 ，令x=4，得点M纵坐标为 ；
直线BP的方程为 ，令x=4，得点N纵坐标为 ；
设在点P处的切线方程为y﹣y1=k（x﹣x1），
由 ，得 ．
由△=0，得 =0，
整理得 ．
将 代入上式并整理得： ，解得 ，
∴切线方程为 ．
令x=4得，点Q纵坐标为 = ．
设 ，则yQ﹣yM=λ（yN﹣yQ），
∴ ．
∴ ．
将 代入上式，得 ，
解得λ=1，即 =1．
【解析】（Ⅰ）设出P点坐标，求得AP、BP所在直线的斜率，由斜率之积是﹣ 列式整理即可得到Г的方程；（Ⅱ）设出P点坐标，得到AP、BP的方程，进一步求出M、N的纵坐标，再写出椭圆在P点的切线方程，由判别式等于0得到过P的斜率（用P的坐标表示），再代入切线方程，求得Q点纵坐标，设 ，转化为坐标的关系即可求得λ，从而得到 的值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．