Question

已知曲线C₁：y=

x2

e

+e（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线m：y=2x．
（I）求证：直线m与曲线C₁、C₂都相切，且切于同一点；
（II）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁、C₂及直线m分别交于M、N、P，记f（t）=|MP|-|PN|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）可设直线m：y=2x与曲线曲线C₁：y=

x2

e

+e的切点为（a，b）再根据导数的几何意义可得f^′（a）=2求出a再代入曲线方程求出b，同理求出与曲线C₂的另一切点然后比较两切点是否是同一点即可得出结论．
（Ⅱ）求出M，N，P点的坐标然后利用两点间的距离公式求出|MP|，|NP|即可求出f（t），最后要求最大值只须利用导数判断函数f（t）在区间[e^-3，e³]上的单调性即可求出最大值．

解答：解：（I）对于曲线C₁：y=

x2

e

+e，设切点P（a，b），有

2a

e

=2∴a=e，故切点为P（e，2e），
切线：y-2e=2（x-e），即y=2x．所以直线m与曲线C₁相切于点P（e，2e）
同理可证直线m与曲线C₂也相切于点P（e，2e）．
（II）由题意易得M（t，

t2

e

+e），N（t，2eln^t），P（t，2t）
∴由两点间的距离公式可得|MP|=

t2

e

+e-2t，|PN|=2t-2eln^t，
∴f（t）=

t2

e

+2elnt-4t+e(e-3≤t≤e3)
f′(t)=

2t

e

+

2e

t

-4=

2(t-e)2

t

≥0
∴f（t）在[e^-3，e³]上单调增，故y_max=f（e³）=e⁵-4e³+7e．

点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求切点坐标和利用导数判断函数的单调性然后求函数的最值．解题的关键是要理解导数的几何意义在解题中的连接作用和如何利用导数判断函数的单调性！