Question

某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；
（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．

解答： 解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10-x），
∴θ=

10+2x

10+x

（0＜x＜10）；
（2）花坛的面积为

1

2

•10•θ•10-

1

2

•xθ•x=

θ

2

(100-x2)=（10-x）（5+x）；
装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10-x）•4=9xθ+90θ+8（10-x）=170+10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=

(10-x)(5+x)

170+10x

．
令17+x=t，
则y=

39

10

-

1

10

(t+

324

t

)≤

3

10

，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=

12

11

，
∴当x=1时，y取得最大值

3

10

．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．