Question

2．定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且f（4）=0，则关于x不等式$\frac{f（x）}{x}＜0$的解集是（　　）

• A． （-∞，0）∪（4，+∞）
• B． （0，2）∪（4，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，4）
• D． （0，2）∪（2，4）

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）在（-∞，2]上为减函数，且f（4）=0，结合函数f（x）的图象关于直线x=2对称，可得：f（x）在[2，+∞）上为增函数，且f（0）=0，分类讨论可得答案．

解答 解：∵对任意的x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
∴函数f（x）在（-∞，2]上为减函数，且f（4）=0，
又由函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴f（x）在[2，+∞）上为增函数，且f（0）=0，
当x∈（-∞，0），f（x）＞0，满足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
当x∈（0，4），f（x）＜0，满足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
当x∈（4，+∞），f（x）＜0，不满足$\frac{f（x）}{x}＜0$，
综上可得：x∈（-∞，0）∪（0，4），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性，函数的对称性，函数的零点，难度中档．