Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$，x∈[1，2]．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上递减．运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）运用函数的单调性，即可得到最值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上递减．
理由如下：设1≤x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1+{x}_{1}}$-$\frac{1}{1+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$，
由1≤x₁＜x₂≤2，可得x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即为f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）在[1，2]递减．
（2）由（1）可得，f（x）在[1，2]递减，
即有f（1）取得最大值$\frac{1}{2}$，f（2）取得最小值$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明及运用，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于基础题．