Question

14．已知椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其下焦点F₁与抛物线x²=-4y的焦点重合，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求过点O、F₁（其中O为坐标原点），且与直线y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（其中c为椭圆半焦距）相切的圆的方程；
（3）求$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$时，直线l的方程，并求当斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）抛物线x²=-4y的焦点为（0，-1），可得c=1．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）直线y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-2．线段OF₁的中点$（0，-\frac{1}{2}）$，可设圆心$（m，-\frac{1}{2}）$，r=-$\frac{1}{2}$-（-2）=$\frac{3}{2}$，利用$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，解得m，即可得出要求的圆的方程．
（3）F₂（0，1），直线l的斜率不存在时，A（0，$\sqrt{2}$），B$（0，-\sqrt{2}）$，不满足$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，舍去．因此直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（2+k²）x²-2kx-1=0，利用$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，及其根与系数的关系解出k，求出圆心到直线l的距离d，即可得出斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）抛物线x²=-4y的焦点为（0，-1），∴c=1．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）直线y=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-2．
线段OF₁的中点$（0，-\frac{1}{2}）$，可设圆心$（m，-\frac{1}{2}）$，r=-$\frac{1}{2}$-（-2）=$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，解得m=$±\sqrt{2}$．
∴要求的圆的方程为：$（x±\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{9}{4}$．
（3）F₂（0，1），直线l的斜率不存在时，A（0，$\sqrt{2}$），B$（0，-\sqrt{2}）$，不满足$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，舍去．
因此直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（2+k²）x²-2kx-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{2+{k}^{2}}$．
（y₁-1）（y₂-1）=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4．
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{5}{4}$，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=$\frac{5}{4}$，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{5}{4}$，
∴（1+k²）×$\frac{-1}{2+{k}^{2}}$-2k×$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$+4=$\frac{5}{4}$，
化为：k²=2，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为：$y=±\sqrt{2}$x-1．
取直线l：y=$\sqrt{2}$x-1，圆的方程为：$（x-\sqrt{2}）^{2}$+y²=$\frac{9}{4}$．
圆心到直线l的距离d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长=2$\sqrt{\frac{9}{4}-（\frac{1}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{69}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、直线与圆的位置关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题