Question

4．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$过点$（{2，\sqrt{3}}）$，离心率为$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线的标准方程和焦点坐标；
（2）已知点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=90°，求点P到x轴的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{3}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²，联立解得即可得出．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨假设m≥n．可得m-n=2，m²+n²=$（2\sqrt{2}）^{2}$，利用三角形面积公式可得：点P到x轴的距离=$\frac{mn}{2c}$．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{3}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，c²=a²+b²，
联立解得：a=b=1，c=$\sqrt{2}$．
∴双曲线的标准方程为x²-y²=1，
焦点坐标为$（±\sqrt{2}，0）$．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨假设m≥n．
则m-n=2，m²+n²=$（2\sqrt{2}）^{2}$，
∴mn=2，
∴点P到x轴的距离=$\frac{mn}{2c}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．