Question

设集合M=[0，1），N=[1，2），函数f(x)=

2x(x∈M) 4-2x(x∈N)

．
（1）若x∈M，g（x）=f²（x）-2f（x）+a，且g（x）的最小值为1，求实数a的值；
（2）若x₀∈M，且f（f（x₀））∈M，求x₀的取值范围．

Answer 1

（1）若x∈M，令t=2^x，则y=t²-2t+a=（t-1）²+a-1，且t∈[1，2），
故当t=1时，函数取得最小为a-1=1，∴a=2．
（2）当x∈M，f（x）=2^x∈[1，2）；当x∈N，f（x）=4-2x∈[0，2]，
令t=f（x₀），∴f（t）∈M．
∵0≤f（t）≤1，∴0≤4-2t＜1，∴

3

2

＜t＜3，
∴

3

2

＜f(x0)＜α，∴

3

2

＜2x0＜2，∴log2

3

2

＜x0＜1，即x₀的取值范围为（log2

3

2

，1）．