Question

(本题满分14分)如图，已知二次函数，直线l：x = 2，直线l：y = 3tx(其中1< t < 1，t为常数)；若直线l、l与函数的图象所围成的封闭图形如图(5)阴影所示．(1)求y = ；(2)求阴影面积s关于t的函数s = u(t)的解析式；(3)若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线s=u(t)(t∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

(1)由图可知二次函数的图象过点(0，0)，(1，0)，
则，又因为图象过点(2，6)，∴6=2，， 3分
∴函数的解析式为；…4分
(2)由得，
∴直线与的图象的交点横坐标分别为0，，…6分
由定积分的几何意义知：
，…8分
∵曲线方程为
∴点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足：
因，故切线的斜率为：
，整理得，…10分
∵过点可作曲线的三条切线，∴关于方程有三个实根．
设，则，由得，
∵当时，在在上单调递增，
∵当时，在上单调递减．
∴函数的极值点为，…12分
∴关于当成有三个实根的充要条件是，
解得，故所求的实数的取值范围是，……14分